การตกอย่างเสรี

v = v₀+gt = 0+(10)(3) = 30 m/s

s = ½gt² = ½(10)(16) = 80 m

45 = ½(10)t² = 5t² → t² = 9 → t = 3 s

v² = 0+2(10)(20) = 400 → v = 20 m/s

v²=2gs → 1600=20s → s = 80 m

H = v₀²/(2g) = 400/20 = 20 m

t_up = v₀/g = 30/10 = 3 s

T = 2v₀/g = 2(25)/10 = 5 s

s ที่ t=4: ½(10)(16) = 80 m
s ที่ t=3: ½(10)(9) = 45 m
ระยะในวินาทีที่ 4 = 80 − 45 = 35 m

(ก) s = ½(10)(36) = 180 m
(ข) v = (10)(6) = 60 m/s

(ก) 100 = 5t+5t² → t²+t−20 = 0 → (t+5)(t−4) = 0 → t = 4 s
(ข) v² = 25+2(10)(100) = 2025 → v = 45 m/s

(ก) H = 40²/20 = 80 m
(ข) v = −40+(10)(5) = 10 m/s (ลง)
(ค) s = −40(5)+½(10)(25) = −200+125 = −75 m (อยู่สูงกว่าจุดเริ่ม 75 m)

(ก) v²=2gs → 3600=20s → s = 180 m
(ข) v=gt → 60=10t → t = 6 s

(ก) 0=v₀²−2(10)(45) → v₀²=900 → v₀ = 30 m/s
(ข) T = 2(30)/10 = 6 s

H = v₀²/(2g), ต้องการ s = H/2 = v₀²/(4g)
ใช้ s = v₀t − ½gt²
v₀²/(4g) = v₀t − ½gt²
2gt² − 4v₀t + v₀²/g·g/(1) ... จัดรูป:
½gt² − v₀t + v₀²/(4g) = 0 → t = [v₀ ± √(v₀² − v₀²/2)] / g
t = v₀(2 ± √2) / (2g)

s_t = 5t², s_t−1 = 5(t−1)²
s_t − s_t−1 = 95 → 5t² − 5(t−1)² = 95
5[t²−t²+2t−1] = 95 → 10t−5 = 95 → t = 10 s
H = 5(100) = 500 m

ทิศขึ้น=ลบ: v² = v₀² + 2gs
(−6)² = v₀² + 2(10)(−12) → 36 = v₀² − 240
v₀² = 276 → v₀ = √276 ≈ 16.6 m/s

ฐานจากพื้น ทิศขึ้น=บวก
A: y_A = 80 − ½(10)t² = 80 − 5t²
B: y_B = 40t − 5t²
พบกัน: 80−5t² = 40t−5t² → 80 = 40t → t = 2 s
y = 40(2)−5(4) = 80−20 = 60 m

v² = 50²−2(10)(100) = 2500−2000 = 500
v = √500 = 10√5 ≈ 22.4 m/s
ขาขึ้น: v = +22.4 m/s (ขึ้น) | ขาลง: v = −22.4 m/s (ลง)

s₁ = ½g(1²) = ½g
s₂ = ½g(2²) − ½g(1²) = 2g − ½g = 3/2 g
s₁:s₂ = (½g):(3/2 g) = 1:3 ✓

A: y_A = 30t − 5t² (t นับจาก A เริ่มขึ้น)
B ปล่อยเมื่อ t=2: y_B = −5(t−2)²
พบกัน: 30t−5t² = −5(t−2)²
30t−5t² = −5(t²−4t+4) = −5t²+20t−20
30t = 20t−20 → 10t = −20 ... ลองใช้ y ขึ้น=+ ทิศลง=−
A: y = 30t − 5t², B: y = 0 − 5(t−2)² = −5t²+20t−20
ตั้ง y_A = y_B:
30t−5t² = −5t²+20t−20 → 10t = −20 ✗
⇒ ไม่พบกันบนทางขึ้น ลองตรวจ t: A ถึงสูงสุดที่ t=3s (y=45m)
B เริ่มตกที่ t=2s, ที่ t=3s: y_B = −5(1)²=−5 (ต่ำกว่าจุดปล่อย ✗)
✦ B ปล่อยตก ดังนั้น y_B = −½g(t−2)² (ต่ำลง)
พบกันเมื่อ A ลงมา: 30t−5t² = −5(t−2)²
จัดใหม่: 30t−5t² = −5t²+20t−20 → 10t+20=0 → t=−2 ✗
∴ ใช้โจทย์แบบ B โยนขึ้นด้วย v₀=0 (ปล่อยตก): ความสูงจากจุดเริ่ม
y_B(ลบลงเป็น−): −5(t−2)² และ y_A = 30t−5t²
เมื่อพบกัน: 30t−5t² = −5(t−2)²
ขยาย: 30t−5t² = −5t²+20t−20 → 10t = −20 ✗
⇒ หากรับ B ตกลง (ทิศลบ) และ A ขึ้น พวกมันไม่มีทางอยู่ในระนาบเดียวกัน
ทดลองใหม่ด้วยแกน y = ขึ้นเป็น +, ลงเป็น −
A: y_A = 30t−5t², B: y_B = 0 (ปล่อย ณ y=0) − 5(t−2)²
30t−5t² = −5(t²−4t+4) → 30t = 20t−20 → 10t=−20 ✗
→ หมายความว่า A ไม่พบ B ขณะ B ยังตกอยู่ใต้จุดเริ่ม
ดังนั้นแก้โจทย์: B โยนขึ้นด้วย v₀=0 ปล่อยตก จาก ความสูง H เหนือจุดเริ่ม A
⟹ สมการ A: y = 30t−5t²; B: y = H−5(t−2)²
พบกัน: 30t−5t² = H−5(t−2)² → 30t = H+20t−20 → H = 10t+20
ต้องการข้อมูล H เพิ่มเพื่อ solve

เฉลยสำหรับกรณีที่ B ปล่อยจากจุดเดียวกัน ทิศลง:
A ลงมาถึงจุดเดิม (y=0) เมื่อ t=6s
y_B(t=6) = −5(4)² = −80m (ลึกลงไปใต้พื้น)
∴ หินทั้งสองไม่พบกันบนพื้นดิน (B ตกพ้นลงไปแล้ว)

H = 5t², ระยะใน 1 วินาทีสุดท้าย = 5t²−5(t−1)² = 10t−5
เงื่อนไข: (10t−5)/(5t²) = 0.49
10t−5 = 2.45t² → 2.45t²−10t+5 = 0
t = [10 ± √(100−49)] / 4.9 = [10 ± √51] / 4.9
√51 ≈ 7.14
t = (10−7.14)/4.9 ≈ 0.58 s (ทิ้ง) หรือ t = (10+7.14)/4.9 ≈ 3.5 s

ในกรอบอ้างอิงของลิฟต์: g_eff = g+a = 10+2 = 12 m/s²
กุญแจตกจากหยุดนิ่งสัมพัทธ์: s = 1.8 m
1.8 = ½(12)t² = 6t²
t² = 0.3 → t = √0.3 ≈ 0.548 s

(ก) H=1.25: v₀²=2(10)(1.25)=25 → v₀ = 5 m/s
(ข) T=2(5)/10 = 1 s
(ค) หา t ที่ y=1m: 1 = 5t−5t² → 5t²−5t+1=0
t = [5±√(25−20)]/10 = [5±√5]/10
t₁=(5−2.24)/10=0.276 s, t₂=(5+2.24)/10=0.724 s
เวลาที่อยู่สูงกว่า 1m = t₂−t₁ = 0.724−0.276 ≈ 0.448 s

กำหนด H = ความสูงอาคาร, ทิศลง=+
หิน A (โยนขึ้น): H = −20t_A + 5t_A² → 5t_A²−20t_A−H = 0
หิน B (โยนลง 3s ทีหลัง): H = 20(t_A−3)+5(t_A−3)²
ทั้งสองเท่ากัน (ตกจากที่เดิม): ดูเวลาตกของแต่ละก้อน
t_A(โยนขึ้น) เท่ากับเวลาถ้าโยนลงด้วย v₀=20 บวกเวลาขึ้น-ลง
สมมาตร: โยนขึ้น 20m/s = เหมือนโยนลง 20m/s แต่ใช้เวลาเพิ่ม 2×(20/10) = 4s
t_A = t_B + 4s (A ตกช้ากว่า B เสมอ 4s)
แต่ B ออกตัวช้ากว่า 3s
∆t(กระทบ) = t_A − (t_B + 3) = 4 − 3 = 1 s